determinant가 0이라는 것의 의미는?

개요

determinant가 0이라는 것은 무엇을 의미하는 걸까?

물론 역행렬이 없다는 걸 의미한다.

하지만, 이걸 기하학적으로 이해한다면, determinant가 0인 벡터는 어떤 모습일까?

기하학적으로 determinant는 어떤 수치일까?

 

determinant란?

일단 matrix는 linear transformation으로 바라볼 수 있다.

그래서 Ax=b로 A라는 선형 변환이 벡터 x에 변환을 일으켜 벡터 b가 된다는 걸 배웠다.

 

선형 변환의 과정에서는 분명 벡터에 어떤 "변화"가 일어난다.

determinant는 그 변환의 정도를 나타낸다.

 

변환의 정도를 나타내는 대상은 2가지가 있다.

1. 부피

2. 방향

 

즉, 선형 변환 A가 벡터 x에 부피와 방향의 측면에서 변환을 일으킨 결과가 바로 벡터 b라는 것이다.

그리고 determinant는 그 변환의 정도를 담고 있다.

그래서 우리는 determinant를 볼 때 2가지를 살펴보면 된다.

1. 부피가 얼마나 변했는가

2. 방향이 변했는가

 

Ax=b의 결과로 부피에서 변환이 일어났다면?

determinant 값이 4가 나왔다고 해보자.

그럼 벡터 x가 4배만큼 scaling이 된 것이다.

 

Ax=b의 결과로 방향의 변화가 일어났다면?

determinant의 값에 있던 양수, 음수 기호가 변했다고 해보자.

그럼 벡터 x의 방향이 변한 것이다.

 

determinant가 0이라는 건 무엇을 의미할까?

벡터들의 부피가 0이 됐다는 말과 같다.

그게 도대체 무슨 말이냐?

 

determinant가 0인 벡터들을 그래프에 나타낸다면 아래와 같은 모습을 보일 것이다.

이렇게 두 벡터가 겹쳐있는 상황이다.

 

아래는 determinant가 1인 두 벡터를 그래프에 나타낸 것이다.

이 벡터들이 형성하는 부피는 1이다.

즉, determinant가 0이라는 건 두 벡터가 0의 부피를 가지게 되었다는 것이고

2차원이던 벡터가 1차원으로 축소되었다는 것을 의미한다.

따라서 두 벡터는 선형 변환 이전으로 돌아갈 수가 없는 벡터라는 것이다.

 

그래서 determinant가 0이면 역행렬이 존재하지 않는 것이다.