determinant

역행렬이 존재하는지 판단하기 위해서 사용했던 det()

이 det은 determinant의 줄임말이다.

 

determinant는 linear transformation을 위해 A에 입력벡터를 통과시켰을 때

얼마나 변화했는지의 정도를 나타내준다.

 

크게 두 가지를 보면 된다.

1. 어떠한 input이 matrix A를 통과하게 되면 부피(volume)이 얼마나 변하는가?

2. 어떠한 input이 matrix A를 통과하게 되면 방향(orientation)이 변하는가?

 

첫째로, 부피 차원에서 살펴보자.

 

[1, 0], [0, 1]이라는 벡터 i, j로 만들어진 그래프가 있다고 하자.

이 벡터를 [[2, 0], [0, 2]]라는 matrix A에 통과시켜보도록 하겠다.

 

그럼 아래와 같이 벡터가 변하게 된다.

matrix A는 diagonal matrix였기 때문에 i, j를 각각 2배로 resize해주었다.

따라서 넓이는 원래 1이었다가 현재 4가 된 상태이다.

 

이제 diagonal matrix였던 matrix A의 det을 한번 구해보자

det의 결과값으로는 4가 나오게 된다.

 

넓이가 1에서 4로 4배가 됐는데, 이 수치와 det(A)의 값이 같다.

즉 det은 linear transformation이 얼마나 변하게 하냐는 정도를 나타내 준다고 했으므로

그 정도는 det(A)를 하면 알 수 있는 것이다!

 

둘째로, 방향(orientation) 차원에서 살펴보자.

알아보기 위해 이번에는 통과시킬 matrix A를 [[-2, 0], [0, 2]라고 해보자.

 

그렇다면 i와 j는 아래와 같이 linear transformation을 겪게 된다.

위에서의 예와 같이 i와 j는 각각 두 배씩 늘어났다.

그래서 위에서와 동일하게 determinant의 절대값은 동일하게 4가 나와야 한다.

 

구해보자.

완전히 동일한 값이 나오지는 않았다.

이번에는 -4가 나왔다.

절대값은 4이나 앞에 -(마이너스) 부호가 붙어서 나왔다.

 

왜?

방향이 바뀌었기 때문이다.

 

즉, A를 통과시킴으로써 방향(orientation)을 보존하지 못했다는 의미이다!

 

마무리

이와 같이 determinant의 절대값은 linear transformatioin 후에 변화하는 부피의 정도, 방향의 변화 여부를 알려준다!